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Random Heterogeneous Materials: Microstructure and Macroscopic Properties

By Salvatore Torquato

Publisher: Springer-Verlag (2002)

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Contents

 

Preface vii

 

1 Motivation and Overview 1

1.1 What Is a Heterogeneous Material? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Effective Properties and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Conductivity and Analogous Properties . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Elastic Moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3 Survival Time or Trapping Constant . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.4 Fluid Permeability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.5 Diffusion and Viscous Relaxation Times . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.6 Definitions of Effective Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Importance of Microstructure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Development of a Systematic Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1 Microstructural Details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.2 Multidisciplinary Research Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Overview of the Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.1 Part I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.2 Part II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5.3 Scope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

 

I Microstructure Characterization 21

 

2 Microstructural Descriptors 23

2.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 n-Point Probability Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.2 Symmetries and Ergodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.3 Geometrical Probability Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.4 Asymptotic Properties and Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.5 Two-Point Probability Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Surface Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4 Lineal-Path Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5 Chord-Length Density Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.6 Pore-Size Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.7 Percolation and Cluster Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.8 Nearest-Neighbor Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.9 Point/q-Particle Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.10 Surface/Particle Correlation Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

 

3 Statistical Mechanics of Many-Particle Systems 59

3.1 Many-Particle Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.1.1 n-Particle Probability Densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.1.2 Pair Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2 Ornstein–Zernike Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.3 Equilibrium Hard-Sphere Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3.1 Low-Density Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3.2 Arbitrary Fluid Densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.4 Random Sequential Addition Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.4.1 One-Dimensional Identical Hard Rods . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.4.2 Identical Hard Spheres in Higher Dimensions . . . . . . . . . . 87

3.4.3 General Hard-Particle Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.5 Maximally Random Jammed State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.5.1 Random Close Packing Is Ill-Defined . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.5.2 Definition of Maximally Random Jammed State . . . . . . . . . 90

3.5.3 Order Metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.5.4 Molecular Dynamics Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.5.5 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

 

4 United Approach to Characterize Microstructure 96

4.1 Volume Fraction and Specific Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.1.1 Bounding Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.1.2 Example Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.2 Canonical Correlation Function Hn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.2.2 Asymptotic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.3 Series Representations of Hn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.3.1 Mayer Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.3.2 Kirkwood–Salsburg Representation . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.3.3 Bounding Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.4 Special Cases of Hn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.5 Polydispersivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.6 Other Model Microstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

 

5 Monodisperse Spheres 119

5.1 Fully Penetrable Spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.1.1 n-Point Probability Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.1.2 Surface Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.1.3 Lineal-Path Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.1.4 Chord-Length Density Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.1.5 Nearest-Neighbor Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.1.6 Pore-Size Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.1.7 Point/q-Particle Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.2 Totally Impenetrable Spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.2.1 n-Point Probability Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.2.2 Surface Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.2.3 Lineal-Path Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.2.4 Chord-Length Density Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.2.5 Nearest-Neighbor Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.2.6 Pore-Size Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.2.7 Point/q-Particle Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.3 Interpenetrable Spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.3.1 Nearest-Neighbor Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.3.2 Volume Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.3.3 Specific Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.3.4 Pore-Size Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.3.5 Other Statistical Descriptors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.4 Statistically Inhomogeneous Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

 

6 Polydisperse Spheres 160

6.1 Fully Penetrable Spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.1.1 n-Point Probability Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6.1.2 Surface Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6.1.3 Lineal-Path Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.1.4 Chord-Length Density Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.1.5 Nearest-Surface Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.1.6 Pore-Size Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.1.7 Point/q-Particle Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.2 Totally Impenetrable Spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.2.1 n-Point Probability Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.2.2 Surface Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.2.3 Lineal-Path Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6.2.4 Chord-Length Density Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6.2.5 Nearest-Surface Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

6.2.6 Pore-Size Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.2.7 Point/q-Particle Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . 176

 

7 Anisotropic Media 177

7.1 General Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.2 Fully Penetrable Oriented Inclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.3 Impenetrable Oriented Inclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

7.4 Hierarchical Laminates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

 

8 Cell and Random-Field Models 188

8.1 Cell Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

8.1.1 Voronoi and Delaunay Tessellations . . . . . . . . . . . . . . . . 189

8.1.2 Cell Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

8.1.3 Symmetric-Cell Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

8.1.4 Random Checkerboard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

8.1.5 Ising Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.2 Random-Field Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

8.2.1 General Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

8.2.2 Gaussian Convolved Intensities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

 

9 Percolation and Clustering 210

9.1 Lattice Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

9.1.1 Bond and Site Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

9.1.2 Percolation Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

9.1.3 Scaling and Critical Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9.1.4 Infinite Cluster and Fractality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

9.1.5 Finite-Size Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

9.2 Continuum Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

9.2.1 Percolation Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

9.2.2 Two-Point Cluster Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

9.2.3 Critical Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

 

10 Some Continuum Percolation Results 234

10.1 Exact Results for Overlapping Spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

10.1.1 One Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

10.1.2 Higher Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

10.1.3 Low-Density Expansions of Cluster Statistics . . . . . . . . . . . 242

10.2 Ornstein–Zernike Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

10.3 Percus–Yevick Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

10.3.1 Permeable-Sphere Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

10.3.2 Cherry-Pit Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

10.3.3 Sticky Hard-Sphere Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

10.4 Beyond Percus–Yevick Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

10.5 Two-Point Cluster Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

10.6 Percolation Threshold Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

10.6.1 Overlapping Disks and Spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

10.6.2 Nonspherical Overlapping Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

10.6.3 Interacting Particle Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

 

11 Local Volume Fraction Fluctuations 257

11.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

11.2 Coarseness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

11.2.1 General Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

11.2.2 Asymptotic Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

11.2.3 Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

11.3 Moments of Local Volume Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

11.4 Evaluations of Full Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

 

12 Computer Simulations, Image Analyses, and Reconstructions 269

12.1 Monte Carlo Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

12.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

12.1.2 Importance Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

12.2 Metropolis Method for Gibbs Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

12.2.1 Markov Chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

12.2.2 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

12.2.3 Practical Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

12.2.4 Hard Spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

12.2.5 Other Particle Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

12.2.6 Cell Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

12.3 Methods for Generating Nonequilibrium Ensembles . . . . . . . . . . . 279

12.4 Sampling in Particle Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

12.4.1 Radial Distribution Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

12.4.2 n-point Probability Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

12.4.3 Surface Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

12.4.4 Cluster-Type Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

12.4.5 Other Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

12.5 Sampling Images and Digitized Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

12.5.1 Two-Point Probability Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

12.5.2 Lineal-Path Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

12.5.3 Chord-Length Density Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

12.5.4 Pore-Size Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

12.5.5 Two-Point Cluster Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

12.6 Reconstructing Heterogeneous Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

12.6.1 Reconstruction Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

12.6.2 Illustrative Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

 

 

II Microstructure/Property Connection 303

 

13 Local and Homogenized Equations 305

13.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

13.2 Conduction Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

13.2.1 Local Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

13.2.2 Conduction Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

13.2.3 Model One-Dimensional Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

13.2.4 Homogenization of Periodic Problem in _d . . . . . . . . . . . . 315

13.2.5 Homogenization of Random Problem in _d . . . . . . . . . . . 318

13.2.6 Frequency-Dependent Conductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

13.3 Elastic Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

13.3.1 Local Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

13.3.2 Elastic Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

13.3.3 Homogenization of Random Problem in _d . . . . . . . . . . . . 332

13.3.4 Heterogeneous Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

13.3.5 Relationship Between Elasticity and Viscous Fluid Theory . . . 337

13.3.6 Viscosity of a Suspension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

13.3.7 Viscoelasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

13.4 Steady-State Trapping Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

13.4.1 Local Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

13.4.2 Homogenization of Random Problem in _d . . . . . . . . . . . . 341

13.5 Steady-State Fluid Permeability Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

13.5.1 Local Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

13.5.2 Homogenization of Random Problem in _d . . . . . . . . . . . . 346

13.5.3 Relationship to Sedimentation Rate . . . . . . . . . . . . . . . . 348

13.6 Classification of Steady-State Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

13.7 Time-Dependent Trapping Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

13.7.1 Basic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

13.7.2 Relationship Between Survival and Relaxation Times . . . . . . 353

13.8 Time-Dependent Flow Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

13.8.1 Basic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

13.8.2 Relationship Between Permeability and Relaxation Times . . . 356

 

14 Variational Principles 357

14.1 Conductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

14.1.1 Field Fluctuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

14.1.2 Energy Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

14.1.3 Minimum Energy Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

14.1.4 Hashin–Shtrikman Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

14.2 Elastic Moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

14.2.1 Field Fluctuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

14.2.2 Energy Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

14.2.3 Minimum Energy Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

14.2.4 Hashin–Shtrikman Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

14.3 Trapping Constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

14.3.1 Energy Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

14.3.2 Minimum Energy Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

14.4 Fluid Permeability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

14.4.1 Energy Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

14.4.2 Minimum Energy Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

 

15 Phase-Interchange Relations 390

15.1 Conductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

15.1.1 Duality for Two-Dimensional Media . . . . . . . . . . . . . . . . 390

15.1.2 Three-Dimensional Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

15.2 Elastic Moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

15.2.1 Two-Dimensional Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

15.2.2 Three-Dimensional Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

15.3 Trapping Constant and Fluid Permeability . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

 

16 Exact Results 403

16.1 Conductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

16.1.1 Coated-Spheres Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

16.1.2 Simple Laminates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

16.1.3 Higher-Order Laminates and Attainability . . . . . . . . . . . . . 410

16.1.4 Fiber-Reinforced Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

16.1.5 Periodic Arrays of Inclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

16.1.6 Low-Density Cellular Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

16.1.7 Field Fluctuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

16.2 Elastic Moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

16.2.1 Coated-Spheres Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

16.2.2 Simple Laminates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

16.2.3 Higher-Order Laminates and Attainability . . . . . . . . . . . . 424

16.2.4 Periodic Arrays of Inclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

16.2.5 Low-Density Cellular Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

16.2.6 Equal Phase Shear Moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

16.2.7 Sheets with Holes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

16.2.8 Dispersions of Particles in a Liquid . . . . . . . . . . . . . . . . 429

16.2.9 Cavities (Bubbles) in an Incompressible Matrix(Liquid) . . . 429

16.2.10 Field Fluctuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

16.2.11 Link to Two-Dimensional Conductivity . . . . . . . . . . . . . . 430

16.2.12 Link to Thermoelastic Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

16.3 Trapping Constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

16.3.1 Diffusion Inside Hyperspheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

16.3.2 Periodic Arrays of Traps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

16.4 Fluid Permeability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

16.4.1 Flow Between Plates and Inside Tubes . . . . . . . . . . . . . . . 434

16.4.2 Periodic Arrays of Obstacles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

 

17 Single-Inclusion Solutions 437

17.1 Conduction Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

17.1.1 Spherical Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

17.1.2 Polarization Within an Ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

17.2 Elasticity Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

17.2.1 Spherical Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

17.2.2 Polarization Within an Ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

17.3 Trapping Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

17.3.1 Spherical Trap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

17.3.2 Spheroidal Trap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

17.4 Flow Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

17.4.1 Spherical Obstacle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

17.4.2 Spheroidal Obstacle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

 

18 Effective-Medium Approximations 459

18.1 Conductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

18.1.1 Maxwell Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

18.1.2 Self-Consistent Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

18.1.3 Differential Effective-Medium Approximations . . . . . . . . . 467

18.2 Elastic Moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

18.2.1 Maxwell Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

18.2.2 Self-Consistent Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

18.2.3 Differential Effective-Medium Approximations . . . . . . . . . 477

18.3 Trapping Constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

18.4 Fluid Permeability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

 

19 Cluster Expansions 485

19.1 Conductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

19.1.1 Dilute Dispersions of Spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

19.1.2 Dilute Dispersions of Ellipsoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

19.1.3 Nondilute Concentrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

19.2 Elastic Moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

19.2.1 Dilute Dispersions of Spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

19.2.2 Dilute Dispersions of Ellipsoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

19.2.3 Nondilute Concentrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

19.3 Trapping Constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

19.3.1 Dilute Dispersions of Spherical Traps . . . . . . . . . . . . . . . 502

19.3.2 Dilute Dispersions of Spheroidal Traps . . . . . . . . . . . . . . . 503

19.3.3 Nondilute Concentrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

19.4 Fluid Permeability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

19.4.1 Dilute Beds of Spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

19.4.2 Dilute Beds of Spheroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

19.4.3 Nondilute Concentrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

 

20 Exact Contrast Expansions 509

20.1 Conductivity Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

20.1.1 Integral Equation for Cavity Electric Field . . . . . . . . . . . . 511

20.1.2 Strong-Contrast Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

20.1.3 Some Tensor Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519

20.1.4 Weak-Contrast Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

20.1.5 Expansion of Local Electric Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

20.1.6 Isotropic Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

20.2 Stiffness Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

20.2.1 Integral Equation for the Cavity Strain Field . . . . . . . . . . . 530

20.2.2 Strong-Contrast Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534

20.2.3 Weak-Contrast Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

20.2.4 Expansion of Local Strain Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540

20.2.5 Isotropic Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541

 

21 Rigorous Bounds 552

21.1 Conductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554

21.1.1 General Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554

21.1.2 Contrast Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555

21.1.3 Cluster Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563

21.1.4 Security-Spheres Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564

21.2 Elastic Moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566

21.2.1 General Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566

21.2.2 Contrast Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568

21.2.3 Cluster Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576

21.2.4 Security-Spheres Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

21.3 Trapping Constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578

21.3.1 Interfacial-Surface Lower Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

21.3.2 Void Lower Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580

21.3.3 Cluster Lower Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581

21.3.4 Security-Spheres Upper Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

21.3.5 Pore-Size Upper Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584

21.4 Fluid Permeability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

21.4.1 Interfacial-Surface Upper Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

21.4.2 Void Upper Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586

21.4.3 Cluster Upper Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

21.4.4 Security-Spheres Lower Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

21.5 Structural Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590

21.6 Utility of Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592

 

22 Evaluation of Bounds 593

22.1 Conductivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594

22.1.1 Contrast Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594

22.1.2 Cluster Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609

22.1.3 Security-Spheres Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610

22.2 Elastic Moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

22.2.1 Contrast Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

22.2.2 Cluster Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620

22.2.3 Security-Spheres Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620

22.3 Trapping Constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621

22.3.1 Interfacial-Surface Lower Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621

22.3.2 Void Lower Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623

22.3.3 Cluster Lower Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624

22.3.4 Security-Spheres Upper Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625

22.3.5 Pore-Size Upper Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625

22.4 Fluid Permeability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627

22.4.1 Interfacial-Surface Upper Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627

22.4.2 Void Upper Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629

22.4.3 Cluster Upper Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630

22.4.4 Security-Spheres Lower Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631

 

23 Cross-Property Relations 632

23.1 Conductivity and Elastic Moduli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

23.1.1 Elementary Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

23.1.2 Translation Bounds for d _ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

23.1.3 Translation Bounds for d _ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642

23.2 Flow and Diffusion Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647

23.2.1 Permeability and Survival Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647

23.2.2 Permeability, Formation Factor, and Viscous Relaxation Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650

23.2.3 Viscous and Diffusion Relaxation Times . . . . . . . . . . . . . . 654

 

A Equilibrium Hard-Disk Program 656

 

B Interrelations Among Two- and Three-Dimensional Moduli 661

 

References 663

 

Index 693

 



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